Однако как же выглядит развертка конуса? Только не будем путать ее с разверткой боковой поверхности конуса, с которой мы уже имели дело. Эта последняя есть всего лишь плоский круговой сектор. Новая поверхность – нечто гораздо более сложное, интересное и изящное, как мы увидим позднее.
Прежде всего, дадим ей название. Поскольку это развертка, мы будем называть ее эвольвентной поверхностью.
Она объемный аналог эвольвенты круга. Надо полагать, они аналогичны и по своим свойствам. Тогда мы просто перенесем все свойства эвольвенты круга на эвольвентную поверхность. С двумерного объекта – на трехмерный. И сделаем это со всею возможною тщательностью, скрупулезностью и аккуратностью.
Итак, механическое образование эвольвентной поверхности: поверхность описывается концом натянутой нерастяжимой ленты, сматываемой без скольжения с поверхности конуса (производящий конус). Конец ленты – образующая новой поверхности. Конец ленты, полностью намотанной на конус, совпадает с одной из его образующих (начальная линия).
Эвольвентная поверхность пересекает все касательные плоскости к поверхности производящего конуса под прямым углом, и наоборот, нормальная плоскость к эвольвентной поверхности служит касательной плоскостью к производящему конусу.
По построению эвольвентная поверхность не проникает внутрь производящего конуса, поэтому при прохождении образующей эвольвентной поверхности через начальную линию направление движения меняется, т.е. начальная линия есть линия возврата эвольвентной поверхности.
Вы только посмотрите на него! Конус, всем хорошо известная геометрическая фигура, изучен, казалось бы, вдоль и поперек. Ан нет! Это его свойство – производить эвольвентную поверхность – до сих пор никому не было известно. Именно мы его только что открыли!
Данное описание новой поверхности – это пока только предположение, которое надо еще проверять. Выясним главное – будут ли проекции ее образующих рассеиваться по эвольвенте круга.
Снова обратимся к развертке боковой поверхности конуса. Ведь именно конус производит рассматриваемую поверхность. Ниже представлены два рисунка.
На верхнем рисунке изображен тот же «веер» – развертка боковой поверхности конуса с нанесенными на нее образующими, перенумерованными от 0 до 8 – что и в той задаче, где мы выясняли вид траектории l-линии, изгибаемой конической поверхностью (назовем ее для краткости задачей 1). Угол между соседними образующими по-прежнему равен δ.
На нижнем рисунке, на стереограмме, пронумерованными точками снова показаны положения этих образующих в нормальной изогнутой поверхности конуса. Как и прежде, они распределены по кругу.
Будем сматывать ленту – точную копию «веера» – с поверхности конуса. Вместе с лентой от поверхности конуса один за другим будут отделяться отпечатки его образующих по порядку номеров, начиная с образующей 0. И каждый раз центральный угол отделившегося сектора ленты будет возрастать на величину δ. Так что этот центральный угол всякий раз будет равен N*δ, где N – номер образующей, отпечаток которой «готов» отделиться от поверхности конуса. А конец ленты – отпечаток образующей 0 – будет по нашему предположению описывать эвольвентную поверхность. Уже отделившийся сектор ленты всегда будет лежать в плоскости, касательной к поверхности конуса.
Наша задача – нанести на стереограмму траекторию отпечатка образующей 0. Процедура в точности та же, что и в задаче 1: по тем же касательным отмеряем те же углы от тех же точек-проекций образующих конуса и ставим те же точки. Только теперь эти точки будут соответствовать положениям отпечатка образующей 0, а также положениям образующих эвольвентной поверхности. В результате получается та же траектория, что и в задаче 1, – эвольвента круга, что и требовалось доказать. Так что главную проверку наше предположительное описание эвольвентной поверхности успешно выдержало.
Задержимся еще немного на процессе сматывания ленты. В тот момент, когда отпечаток очередной образующей конуса отделяется вместе с лентой от поверхности производящего конуса, эта образующая выступает в роли оси вращения – β-оси – для того куска эвольвентной поверхности, который в этот самый момент образуется. Только в это краткое мгновение! То есть β-оси – это мгновенные оси эвольвентной поверхности.
Итак, эвольвентная поверхность – это развертка конуса. Образ этой поверхности на стереограмме будет включать в себя следующие линейные элементы: 1) l-линии, 2) образующие эвольвентной поверхности, 3) образующие производящего конуса, 4) центральная ось поверхности, которую для краткости назовем γ-осью, она же – ось производящего конуса.
И вот как будет выглядеть система на нынешнем этапе ее строительства:
| Траектории рассеивания линейных элементов на стереограмме | Поверхности | |||
| плоскость | цилиндр | конус | эвольвентная | |
| Точка-центр | l-линии | образующие | β-ось | γ-ось |
| Круг | - | l-линии | образующие | β-оси |
| Эвольвента круга | - | - | l-линии | образующие |
| Эвольвента эвольвенты круга | - | - | - | l-линии |
Всё! Работа по построению новой поверхности практически закончена. Теперь мы знаем о ней достаточно.
Старая электронно-вычислительная машина бабушки-соседки любезно согласилась нарисовать для нас эту поверхность. Вот она вместе с производящим конусом.
Комментариев нет:
Отправить комментарий