5. От малого к бесконечно большому – один шаг

Рассмотрим ряд траекторий

Точка-центр – Круг – Эвольвента круга

Казалось бы, ничего особенного, ряд как ряд. Но посмотрите внимательно – у него есть замечательное свойство: каждая предыдущая траектория служит эволютой - т.е. геометрическим местом центров кривизны - последующей траектории.

И наоборот, каждая последующая траектория есть эвольвента (развертка) предыдущей траектории.

Посмотрите, что произошло. К коротенькому ряду траекторий, состоявшему всего из двух членов, добавился один-единственный член. Только и всего. Раз, два, три – и обчелся. Но...

Этой малости оказалось достаточно, чтобы ярко высветилось повторяющееся постоянное свойство в отношениях между членами ряда. Свойство простое, хорошо заметное. Достаточно было одного повтора, чтобы заметить его.

Есть ли предел числу таких повторений? Предела нет! Любая кривая имеет эвольвенту. Любая кривая имеет бесконечное множество эвольвент.

«Открытие» нами эвольвенты круга обеспечило прорыв, сделало коротенький ряд потенциально бес-ко-неч-ным! И система поверхностей тоже стала потенциально бесконечной! Эффект мягко говоря потрясающий.

Основываясь на только что открытом свойстве, не давая остыть железу, можно ковать... брррр!... продолжать ряд дальше, добавляя новые траектории, удовлетворяющие требованию: каждая последующая траектория должна быть эвольвентой (разверткой) предыдущей траектории.

Вдуматься только – всё новое – это развертка старого! Какова система, а!

Однако вернемся к делу построения новой поверхности. Теперь ясно, что l-линии будут рассеиваться по эвольвенте эвольвенты круга.

Эта система полна аналогиями

Из таблицы видно: линейные элементы разных видов могут рассеиваться по траекториям одного и того же вида. И наоборот, линейные элементы одного и того же вида могут рассеиваться по траекториям разных видов.

Можно сказать и иначе, но уже в аспекте поверхностей: линейные элементы разных поверхностей могут рассеиваться по траекториям одного и того же вида. Это означает, что линейные элементы каждой поверхности можно поставить в соответствие линейным элементам других поверхностей.

Говоря научным языком, все поверхности изоморфны одна другой и ряду траекторий рассеивания. Оказывается, наша система полна всякого рода соответствиями и аналогиями.

Вот еще одно очень важное соответствие: каждому виду траекторий, по которым рассеиваются образующие на стереограмме, в трехмерном пространстве соответствует своя поверхность. Так, точке-центру соответствует цилиндр, круговой траектории – конус. У эвольвенты (развертки) круга тоже должен быть свой аналог в трехмерном пространстве.

Вот мы незаметно и подошли вплотную к выяснению внешнего вида новой поверхности.

Вспомним: новое, еще неизвестное в нашей системе – это развертка старого, уже известного. Вот и решение задачи:

круг на стереограмме –– конус в пространстве

развертка круга на стереограмме –– развертка конуса в пространстве

Свершилось! Вот он – момент истины! Новая поверхность – это же развертка конуса! Результат не менее впечатляющий!

Всё! Дело сделано! Структура системы ясна:

Каждая следующая поверхность – развертка предыдущей

Только что состоявшееся открытие нами новой системы – это очередной сигнал, с новой силой возбуждающий в нас ощущение гармонии окружающего мира. Без этого чувства жизнь казалась бы окрашенной, наверное, несколько серовато.