2. Входим в Систему. Цилиндр нам уже знаком

Цилиндрическую поверхность описывает прямая линия (образующая), перемещающаяся в пространстве параллельно самой себе вдоль некоторой кривой. Мы ограничимся рассмотрением кругового цилиндра.

У цилиндра, кроме образующих, есть еще и ось. Все это линейные элементы цилиндра.

Выстраивая систему поверхностей, мы будем иметь дело только с линейными элементами. Этого вполне достаточно для нас и для построения системы.

Нам важно знать, как линейные элементы ориентированы в пространстве. Их пространственное положение мы будем фиксировать на стереограмме, чтобы затем анализировать сложившиеся узоры.

Стереограмму можно представить как основание прозрачной полусферы. Пусть через центр полусферы (и через центр стереограммы) проходит линия, пространственное положение которой мы хотим установить. Точку пересечения линии с полусферой спроецируем на стереограмму, т.е. опустим из этой точки перпендикуляр. Точка в основании перпендикуляра – проекция – будет однозначно определять пространственное положение нашей линии.

Ясно, что вертикальная линия проецируется в центр стереограммы, а проекция горизонтальной линии окажется на краю стереограммы.

Стереограмма – понижатель, демультипликатор размерности. Мы уже видели, как она преобразует двумерный объект (прямую линию) в точку (одномерный объект). Мы еще не видели, но мы еще увидим, как изящно и легко стереограмма может переводить трехмерные объекты – поверхности и пространственные кривые – в объекты двумерные – плоские кривые.

В нашем исследовании не важно, куда будет направлена ось той или иной поверхности – на север или на восток. Важно, как ориентированы разные виды линейных элементов относительно друг друга. Важно, как группируются их проекции на стереограмме, какой рисунок образуют, по каким траекториям рассеиваются, как принято говорить среди специалистов.

Расстояния между точками на стереограмме – это угловые расстояния. Чем больше угол между проецируемыми линиями, тем больше расстояние между точками – их проекциями на стереограмме. Отсюда вытекает одно важное следствие: параллельные прямые линии будут проецироваться на стереограмму в одной и той же точке.

Вот как раз у кругового цилиндра параллельными друг другу оказываются ось и образующие. Поэтому чтобы установить пространственное положение цилиндра, достаточно определить ориентировку любого из его линейных элементов. Кстати, тот увал, с вершины которого началось это увлекательное путешествие и который, как помнится, протягивался с запада на восток, был бы отмечен точкой на западном или восточном краю стереограммы, если бы нам захотелось зафиксировать его пространственное положение.

Теперь сделаем следующий шаг в нашем интеллектуальном путешествии.

Возьмем лист бумаги и свернем его в трубку. Получим цилиндрическую поверхность. Определим ее пространственное положение. Получим точку на стереограмме.

Развернем лист и прочертим на нем прямую линию, лучше под углом к оси цилиндра – так интереснее. Снова свернем листок в трубку. На цилиндрической поверхности окажется начерченная нами линия, и она будет изогнута в виде всем известной винтовой линии.

Линии на поверхности – это особый вид линейных элементов. Мы будем называть их l-линиями.

Определим пространственное положение изогнутой линии (касательных к ней, строго говоря) в нескольких ее точках. Для этого нам не нужно утруждать себя скрупулезными измерениями. Используем известное свойство винтовой линии: угол между нею и осью цилиндра – один и тот же на всем ее протяжении. Совершенно ясно, что проекции l-линии в разных ее точках расположатся (рассеются) на стереограмме на одинаковом расстоянии от проекции оси, т.е. по кругу.

Чем меньше угол между осью и l-линией, тем меньше радиус круга. В пределе, когда l-линия параллельна оси цилиндра и совпадает с одной из его образующих, круг вырождается в точку.

Между прочим, мы только что увидели, как стереограмма преобразовала трехмерный объект – пространственную винтовую линию – в двумерный объект – окружность.

Итак, мы получили первый рисунок на стереограмме – круг с центральной точкой. Это характерный образ цилиндрической поверхности на стереограмме: ось и образующие – точка; проекции l-линии рассеяны по кругу.

Это очень важный результат. Первый результат, освещающий типовые отношения между разными видами линейных элементов. Разобравшись в этих отношениях, мы найдем ключ к Системе.