4. Ну вот, кажется, началось

Снова возьмем лист бумаги. Прочертим на нем прямую линию и свернем его в конус. Начерченная линия будет изогнута конической поверхностью.

Попробуем выяснить, как расположатся проекции этой линии на стереограмме. Ясно, что мы получим цепочку точек. Только на этот раз точки вытянутся не по кругу, а по более сложной траектории вследствие того, что угол между образующими конуса и l-линией не остается постоянным, а изменяется по определенному закону.

Наступил очень важный момент. Переломный момент, обещающий крупный прорыв в деле построения системы поверхностей.

Выясним, что представляет собой эта новая траектория. Ниже представлены два рисунка.

На верхнем рисунке изображен «веер» – развертка боковой поверхности конуса с нанесенными на нее образующими, перенумерованными от 0 до 8. Угол между соседними образующими равен δ. Здесь же прочерчена  l-линия. Пусть она будет параллельна образующей 0. На рисунке видно, что l-линия пересекает все остальные образующие. Причем величина угла пересечения постепенно нарастает от образующей 0 к образующей 8, каждый раз на величину δ. Так что угол пересечения равен N*δ, где N – номер образующей. Как видим, угол между образующими конуса и l-линией  изменяется по очень простому закону.

На нижнем рисунке, изображающем фрагмент стереограммы, пронумерованными точками показаны положения этих самых образующих в нормальной изогнутой поверхности конуса. Как и положено, они распределены по кругу. Попробуем зафиксировать на этой же диаграмме положения l-линии в каждой из точек ее пересечения с образующими конуса.

Но сперва заметим – На изогнутой боковой поверхности конуса: а) углы пересечения линий сохраняют те же значения, что и на «веере»-развертке; б) угол между пересекающимися линиями приходится каждый раз определять на плоскости, касательной к поверхности конуса.

Теперь у нас есть все необходимое для решения нашей задачи. Вспомним только, что расстояния между точками на стереограмме – это углы между соответствующими линиями в пространстве.

Итак, от образующей 1 по касательной отмеряем угол δ и ставим первую точку (обозначенную 1' на нижнем рисунке). От образующей 2 по касательной отмеряем угол 2δ и ставим вторую точку (обозначенную 2' на рисунке) и т.д. Полученные точки как раз и будут соответствовать положениям l-линии, изогнутой конусом. Все очень просто. Результат показан на том же рисунке.

Характер данного построения таков, что складывается впечатление, будто мы сматываем с круга натянутую нить, и конец нити описывает некоторую кривую. В справочнике по математике мы узнаем, что таким способом описывается единственная кривая – эвольвента (развертка) круга.

Сведения из справочника по математике

Эвольвенту описывает конец натянутой нерастяжимой нити, сматываемой без скольжения с круга (производящий круг). Конец нити, полностью намотанной на круг, совпадает с одной из его точек (начальная точка).

Эвольвента пересекает все касательные к производящему кругу под прямым углом, и наоборот, нормаль к эвольвенте служит касательной к производящему кругу.

По построению эвольвента не проникает внутрь производящего круга, поэтому при прохождении кривой через начальную точку направление движения меняется, т.е. начальная точка есть точка возврата эвольвенты.

Вот мы и выяснили, по какой траектории рассеиваются l-линии, изгибаемые конической поверхностью. Блестящий результат! Теперь не за горами ошеломительный прорыв в деле построения нашей замечательной системы.

Чтобы приблизить это долгожданное событие, введем в систему – для полноты – еще одну поверхность – плоскую. Пусть она будет нулевым элементом системы, как число 0 в системе алгебры.

Для плоскости мыслим только один вид линейных элементов – l-линии. Любая l-линия на плоскости остается прямой. Следовательно, на стереограмме она будет отображаться единственной точкой.

Дополним нашу таблицу вновь полученными данными:

Траектории рассеивания линейных элементов на стереограмме	Поверхности
	плоскость	цилиндр	конус
Точка-центр	l-линии	образующие	β-ось
Круг	-	l-линии	образующие
Эвольвента круга	-	-	l-линии

Ага! Вот теперь в нашей системе проявилась четкая закономерность: линейные элементы одного и того же вида располагаются вдоль диагонали таблицы.

При переходе от одной поверхности к другой, более сложной, линейные элементы каждого вида переходят на более «высокие» траектории.

Между прочим, только что был сформулирован закон композиции для строящейся системы поверхностей. Руководствуясь законом композиции, можно надстраивать систему, строить новую поверхность, предсказывать ее свойства. Тем и займемся. И сразу же вот что получится:

Траектории рассеивания линейных элементов на стереограмме	Поверхности
	плоскость	цилиндр	конус	новая
Точка-центр	l-линии	образующие	β-ось	?-ось
Круг	-	l-линии	образующие	β-оси
Эвольвента круга	-	-	l-линии	образующие
?	-	-	-	l-линии

Уже сейчас можно предсказать, что l-линии, изгибаемые новой поверхностью, будут рассеиваться по какой-то пока неизвестной сложной траектории. Образующие этой поверхности будут рассеиваться по эвольвенте круга, а  β-оси (не одна, как в конусе, а много) – по  круговой траектории.

И появляется какой-то новый линейный элемент, проекция которого дает точку-центр на стереограмме. По аналогии с β-осью конуса можно предположить, что это главная ось, вокруг которой в новой поверхности «все вертится».

Ах, если бы нам удалось восстановить по этим данным еще и внешний вид этой поверхности… Однако отложим на время эту задачу.