6. Новая поверхность как она есть

Однако как же выглядит развертка конуса? Только не будем путать ее с разверткой боковой поверхности конуса, с которой мы уже имели дело. Эта последняя есть всего лишь плоский круговой сектор. Новая поверхность – нечто гораздо более сложное, интересное и изящное, как мы увидим позднее.

Прежде всего, дадим ей название. Поскольку это развертка, мы будем называть ее эвольвентной поверхностью.

Она объемный аналог эвольвенты круга. Надо полагать, они аналогичны и по своим свойствам. Тогда мы просто перенесем все свойства эвольвенты круга на эвольвентную поверхность. С двумерного объекта – на трехмерный. И сделаем это со всею возможною тщательностью, скрупулезностью и аккуратностью.

Итак, механическое образование эвольвентной поверхности: поверхность описывается концом натянутой нерастяжимой ленты, сматываемой без скольжения с поверхности конуса (производящий конус). Конец ленты – образующая новой поверхности. Конец ленты, полностью намотанной на конус, совпадает с одной из его образующих (начальная линия).

Эвольвентная поверхность пересекает все касательные плоскости к поверхности производящего конуса под прямым углом, и наоборот, нормальная плоскость к эвольвентной поверхности служит касательной плоскостью к производящему конусу.

По построению эвольвентная поверхность не проникает внутрь производящего конуса, поэтому при прохождении образующей эвольвентной поверхности через начальную линию направление движения меняется, т.е. начальная линия есть линия возврата эвольвентной поверхности.

Вы только посмотрите на него! Конус, всем хорошо известная геометрическая фигура, изучен, казалось бы, вдоль и поперек. Ан нет! Это его свойство – производить эвольвентную поверхность – до сих пор никому не было известно. Именно мы его только что открыли!

Данное описание новой поверхности – это пока только предположение, которое надо еще проверять. Выясним главное – будут ли проекции ее образующих рассеиваться по эвольвенте круга.

Снова обратимся к развертке боковой поверхности конуса. Ведь именно конус производит рассматриваемую  поверхность. Ниже представлены два рисунка.

На верхнем рисунке изображен тот же «веер» – развертка боковой поверхности конуса с нанесенными на нее образующими, перенумерованными от 0 до 8 – что и в той задаче, где мы выясняли вид траектории l-линии, изгибаемой конической поверхностью (назовем ее для краткости задачей 1). Угол между соседними образующими по-прежнему равен δ.

На нижнем рисунке, на стереограмме, пронумерованными точками снова показаны положения этих образующих в нормальной изогнутой поверхности конуса. Как и прежде, они распределены по кругу.

Будем сматывать ленту – точную копию «веера» – с поверхности конуса. Вместе с лентой от поверхности конуса один за другим будут отделяться отпечатки его образующих по порядку номеров, начиная с образующей 0. И каждый раз центральный угол отделившегося сектора ленты будет возрастать на величину δ. Так что этот центральный угол всякий раз будет равен N*δ, где N – номер образующей, отпечаток которой «готов» отделиться от поверхности конуса. А конец ленты – отпечаток образующей 0 – будет по нашему предположению описывать эвольвентную поверхность. Уже отделившийся сектор ленты всегда будет лежать в плоскости, касательной к поверхности конуса.

Наша задача – нанести на стереограмму траекторию отпечатка образующей 0. Процедура в точности та же, что и в задаче 1: по тем же касательным отмеряем те же углы от тех же точек-проекций образующих конуса и ставим те же точки. Только теперь эти точки будут соответствовать положениям отпечатка образующей 0, а также положениям образующих эвольвентной поверхности. В результате получается та же траектория, что и в задаче 1, – эвольвента круга, что и требовалось доказать. Так что главную проверку наше предположительное описание эвольвентной поверхности успешно выдержало.

Задержимся еще немного на процессе сматывания ленты. В тот момент, когда отпечаток очередной образующей конуса отделяется вместе с лентой от поверхности производящего конуса, эта образующая выступает в роли оси вращения – β-оси – для того куска эвольвентной поверхности, который в этот самый момент образуется. Только в это краткое мгновение! То есть β-оси – это мгновенные оси эвольвентной поверхности.

Итак, эвольвентная поверхность – это развертка конуса. Образ этой поверхности на стереограмме будет включать в себя следующие линейные элементы: 1) l-линии, 2) образующие эвольвентной поверхности, 3) образующие производящего конуса, 4) центральная ось поверхности, которую для краткости назовем γ-осью, она же – ось производящего конуса.

И вот как будет выглядеть система на нынешнем этапе ее строительства:

Траектории рассеивания линейных элементов на стереограмме	Поверхности
	плоскость	цилиндр	конус	эвольвентная
Точка-центр	l-линии	образующие	β-ось	γ-ось
Круг	-	l-линии	образующие	β-оси
Эвольвента круга	-	-	l-линии	образующие
Эвольвента эвольвенты круга	-	-	-	l-линии

Всё! Работа по построению новой поверхности практически закончена. Теперь мы знаем о ней достаточно.

Старая электронно-вычислительная машина бабушки-соседки любезно согласилась нарисовать для нас эту поверхность. Вот она вместе с производящим конусом.

5. От малого к бесконечно большому – один шаг

Рассмотрим ряд траекторий

Точка-центр – Круг – Эвольвента круга

Казалось бы, ничего особенного, ряд как ряд. Но посмотрите внимательно – у него есть замечательное свойство: каждая предыдущая траектория служит эволютой - т.е. геометрическим местом центров кривизны - последующей траектории.

И наоборот, каждая последующая траектория есть эвольвента (развертка) предыдущей траектории.

Посмотрите, что произошло. К коротенькому ряду траекторий, состоявшему всего из двух членов, добавился один-единственный член. Только и всего. Раз, два, три – и обчелся. Но...

Этой малости оказалось достаточно, чтобы ярко высветилось повторяющееся постоянное свойство в отношениях между членами ряда. Свойство простое, хорошо заметное. Достаточно было одного повтора, чтобы заметить его.

Есть ли предел числу таких повторений? Предела нет! Любая кривая имеет эвольвенту. Любая кривая имеет бесконечное множество эвольвент.

«Открытие» нами эвольвенты круга обеспечило прорыв, сделало коротенький ряд потенциально бес-ко-неч-ным! И система поверхностей тоже стала потенциально бесконечной! Эффект мягко говоря потрясающий.

Основываясь на только что открытом свойстве, не давая остыть железу, можно ковать... брррр!... продолжать ряд дальше, добавляя новые траектории, удовлетворяющие требованию: каждая последующая траектория должна быть эвольвентой (разверткой) предыдущей траектории.

Вдуматься только – всё новое – это развертка старого! Какова система, а!

Однако вернемся к делу построения новой поверхности. Теперь ясно, что l-линии будут рассеиваться по эвольвенте эвольвенты круга.

Эта система полна аналогиями

Из таблицы видно: линейные элементы разных видов могут рассеиваться по траекториям одного и того же вида. И наоборот, линейные элементы одного и того же вида могут рассеиваться по траекториям разных видов.

Можно сказать и иначе, но уже в аспекте поверхностей: линейные элементы разных поверхностей могут рассеиваться по траекториям одного и того же вида. Это означает, что линейные элементы каждой поверхности можно поставить в соответствие линейным элементам других поверхностей.

Говоря научным языком, все поверхности изоморфны одна другой и ряду траекторий рассеивания. Оказывается, наша система полна всякого рода соответствиями и аналогиями.

Вот еще одно очень важное соответствие: каждому виду траекторий, по которым рассеиваются образующие на стереограмме, в трехмерном пространстве соответствует своя поверхность. Так, точке-центру соответствует цилиндр, круговой траектории – конус. У эвольвенты (развертки) круга тоже должен быть свой аналог в трехмерном пространстве.

Вот мы незаметно и подошли вплотную к выяснению внешнего вида новой поверхности.

Вспомним: новое, еще неизвестное в нашей системе – это развертка старого, уже известного. Вот и решение задачи:

круг на стереограмме –– конус в пространстве

развертка круга на стереограмме –– развертка конуса в пространстве

Свершилось! Вот он – момент истины! Новая поверхность – это же развертка конуса! Результат не менее впечатляющий!

Всё! Дело сделано! Структура системы ясна:

Каждая следующая поверхность – развертка предыдущей

Только что состоявшееся открытие нами новой системы – это очередной сигнал, с новой силой возбуждающий в нас ощущение гармонии окружающего мира. Без этого чувства жизнь казалась бы окрашенной, наверное, несколько серовато.

4. Ну вот, кажется, началось

Снова возьмем лист бумаги. Прочертим на нем прямую линию и свернем его в конус. Начерченная линия будет изогнута конической поверхностью.

Попробуем выяснить, как расположатся проекции этой линии на стереограмме. Ясно, что мы получим цепочку точек. Только на этот раз точки вытянутся не по кругу, а по более сложной траектории вследствие того, что угол между образующими конуса и l-линией не остается постоянным, а изменяется по определенному закону.

Наступил очень важный момент. Переломный момент, обещающий крупный прорыв в деле построения системы поверхностей.

Выясним, что представляет собой эта новая траектория. Ниже представлены два рисунка.

На верхнем рисунке изображен «веер» – развертка боковой поверхности конуса с нанесенными на нее образующими, перенумерованными от 0 до 8. Угол между соседними образующими равен δ. Здесь же прочерчена  l-линия. Пусть она будет параллельна образующей 0. На рисунке видно, что l-линия пересекает все остальные образующие. Причем величина угла пересечения постепенно нарастает от образующей 0 к образующей 8, каждый раз на величину δ. Так что угол пересечения равен N*δ, где N – номер образующей. Как видим, угол между образующими конуса и l-линией  изменяется по очень простому закону.

На нижнем рисунке, изображающем фрагмент стереограммы, пронумерованными точками показаны положения этих самых образующих в нормальной изогнутой поверхности конуса. Как и положено, они распределены по кругу. Попробуем зафиксировать на этой же диаграмме положения l-линии в каждой из точек ее пересечения с образующими конуса.

Но сперва заметим – На изогнутой боковой поверхности конуса: а) углы пересечения линий сохраняют те же значения, что и на «веере»-развертке; б) угол между пересекающимися линиями приходится каждый раз определять на плоскости, касательной к поверхности конуса.

Теперь у нас есть все необходимое для решения нашей задачи. Вспомним только, что расстояния между точками на стереограмме – это углы между соответствующими линиями в пространстве.

Итак, от образующей 1 по касательной отмеряем угол δ и ставим первую точку (обозначенную 1' на нижнем рисунке). От образующей 2 по касательной отмеряем угол 2δ и ставим вторую точку (обозначенную 2' на рисунке) и т.д. Полученные точки как раз и будут соответствовать положениям l-линии, изогнутой конусом. Все очень просто. Результат показан на том же рисунке.

Характер данного построения таков, что складывается впечатление, будто мы сматываем с круга натянутую нить, и конец нити описывает некоторую кривую. В справочнике по математике мы узнаем, что таким способом описывается единственная кривая – эвольвента (развертка) круга.

Сведения из справочника по математике

Эвольвенту описывает конец натянутой нерастяжимой нити, сматываемой без скольжения с круга (производящий круг). Конец нити, полностью намотанной на круг, совпадает с одной из его точек (начальная точка).

Эвольвента пересекает все касательные к производящему кругу под прямым углом, и наоборот, нормаль к эвольвенте служит касательной к производящему кругу.

По построению эвольвента не проникает внутрь производящего круга, поэтому при прохождении кривой через начальную точку направление движения меняется, т.е. начальная точка есть точка возврата эвольвенты.

Вот мы и выяснили, по какой траектории рассеиваются l-линии, изгибаемые конической поверхностью. Блестящий результат! Теперь не за горами ошеломительный прорыв в деле построения нашей замечательной системы.

Чтобы приблизить это долгожданное событие, введем в систему – для полноты – еще одну поверхность – плоскую. Пусть она будет нулевым элементом системы, как число 0 в системе алгебры.

Для плоскости мыслим только один вид линейных элементов – l-линии. Любая l-линия на плоскости остается прямой. Следовательно, на стереограмме она будет отображаться единственной точкой.

Дополним нашу таблицу вновь полученными данными:

Траектории рассеивания линейных элементов на стереограмме	Поверхности
	плоскость	цилиндр	конус
Точка-центр	l-линии	образующие	β-ось
Круг	-	l-линии	образующие
Эвольвента круга	-	-	l-линии

Ага! Вот теперь в нашей системе проявилась четкая закономерность: линейные элементы одного и того же вида располагаются вдоль диагонали таблицы.

При переходе от одной поверхности к другой, более сложной, линейные элементы каждого вида переходят на более «высокие» траектории.

Между прочим, только что был сформулирован закон композиции для строящейся системы поверхностей. Руководствуясь законом композиции, можно надстраивать систему, строить новую поверхность, предсказывать ее свойства. Тем и займемся. И сразу же вот что получится:

Траектории рассеивания линейных элементов на стереограмме	Поверхности
	плоскость	цилиндр	конус	новая
Точка-центр	l-линии	образующие	β-ось	?-ось
Круг	-	l-линии	образующие	β-оси
Эвольвента круга	-	-	l-линии	образующие
?	-	-	-	l-линии

Уже сейчас можно предсказать, что l-линии, изгибаемые новой поверхностью, будут рассеиваться по какой-то пока неизвестной сложной траектории. Образующие этой поверхности будут рассеиваться по эвольвенте круга, а  β-оси (не одна, как в конусе, а много) – по  круговой траектории.

И появляется какой-то новый линейный элемент, проекция которого дает точку-центр на стереограмме. По аналогии с β-осью конуса можно предположить, что это главная ось, вокруг которой в новой поверхности «все вертится».

Ах, если бы нам удалось восстановить по этим данным еще и внешний вид этой поверхности… Однако отложим на время эту задачу.

3. Конус нам тоже знаком

Перейдем к более сложному – к конической поверхности. Ее описывает прямая линия (образующая), перемещающаяся вдоль некоторой кривой и имеющая неподвижную точку (вершину).

В наших построениях мы будем иметь дело с самой простой разновидностью конической поверхности – прямым круговым конусом. Напоминаю, что в основании такого конуса лежит круг, а ось проходит через центр круга и перпендикулярна ему.

У конуса есть те же два вида линейных элементов – ось и образующие. Определим их пространственное положение. Снова обойдемся без измерений. Всем известно, что в прямом круговом конусе угол между всеми образующими и осью один и тот же. Следовательно, точки – проекции образующих – вытянутся на стереограмме вокруг проекции оси конуса по круговой траектории.

Мы получили второй рисунок на стереограмме, поразительно схожий с первым. Сходство между цилиндром и конусом во взаимоотношениях их линейных элементов на стереограмме заставляет задуматься. За этим наверняка скрывается нечто важное – то, что нам еще предстоит открыть в этом увлекательном путешествии.

Но пока разберемся с линейными элементами. Мы уже выделили один их вид – l-линии. Образующие поверхностей – другой вид линейных элементов.

К третьему виду принадлежит ось конуса. Это ось вращения. Вокруг нее вращаются: 1) образующие конуса – в пространстве и 2) их проекции – на стереограмме. Мы будем называть ее β-осью.

Уточним понятия. С одной стороны, мы имеем дело с рядовыми точками – проекциями разных линейных элементов. С другой стороны, есть точка как центр круга. Эту последнюю мы будем называть точкой-центром – во избежание путаницы.

Теперь представим в виде таблицы всё, что мы выяснили о линейных элементах рассмотренных поверхностей и об их поведении на стереограмме:

Траектории рассеивания линейных элементов на стереограмме	Поверхности
	цилиндр	конус
Точка-центр	образующие	β-ось
Круг	l-линии	образующие

Вот так, легко и непринужденно скользя по знакомым поверхностям, мы приблизились к главной цели нашего путешествия.

2. Входим в Систему. Цилиндр нам уже знаком

Цилиндрическую поверхность описывает прямая линия (образующая), перемещающаяся в пространстве параллельно самой себе вдоль некоторой кривой. Мы ограничимся рассмотрением кругового цилиндра.

У цилиндра, кроме образующих, есть еще и ось. Все это линейные элементы цилиндра.

Выстраивая систему поверхностей, мы будем иметь дело только с линейными элементами. Этого вполне достаточно для нас и для построения системы.

Нам важно знать, как линейные элементы ориентированы в пространстве. Их пространственное положение мы будем фиксировать на стереограмме, чтобы затем анализировать сложившиеся узоры.

Стереограмму можно представить как основание прозрачной полусферы. Пусть через центр полусферы (и через центр стереограммы) проходит линия, пространственное положение которой мы хотим установить. Точку пересечения линии с полусферой спроецируем на стереограмму, т.е. опустим из этой точки перпендикуляр. Точка в основании перпендикуляра – проекция – будет однозначно определять пространственное положение нашей линии.

Ясно, что вертикальная линия проецируется в центр стереограммы, а проекция горизонтальной линии окажется на краю стереограммы.

Стереограмма – понижатель, демультипликатор размерности. Мы уже видели, как она преобразует двумерный объект (прямую линию) в точку (одномерный объект). Мы еще не видели, но мы еще увидим, как изящно и легко стереограмма может переводить трехмерные объекты – поверхности и пространственные кривые – в объекты двумерные – плоские кривые.

В нашем исследовании не важно, куда будет направлена ось той или иной поверхности – на север или на восток. Важно, как ориентированы разные виды линейных элементов относительно друг друга. Важно, как группируются их проекции на стереограмме, какой рисунок образуют, по каким траекториям рассеиваются, как принято говорить среди специалистов.

Расстояния между точками на стереограмме – это угловые расстояния. Чем больше угол между проецируемыми линиями, тем больше расстояние между точками – их проекциями на стереограмме. Отсюда вытекает одно важное следствие: параллельные прямые линии будут проецироваться на стереограмму в одной и той же точке.

Вот как раз у кругового цилиндра параллельными друг другу оказываются ось и образующие. Поэтому чтобы установить пространственное положение цилиндра, достаточно определить ориентировку любого из его линейных элементов. Кстати, тот увал, с вершины которого началось это увлекательное путешествие и который, как помнится, протягивался с запада на восток, был бы отмечен точкой на западном или восточном краю стереограммы, если бы нам захотелось зафиксировать его пространственное положение.

Теперь сделаем следующий шаг в нашем интеллектуальном путешествии.

Возьмем лист бумаги и свернем его в трубку. Получим цилиндрическую поверхность. Определим ее пространственное положение. Получим точку на стереограмме.

Развернем лист и прочертим на нем прямую линию, лучше под углом к оси цилиндра – так интереснее. Снова свернем листок в трубку. На цилиндрической поверхности окажется начерченная нами линия, и она будет изогнута в виде всем известной винтовой линии.

Линии на поверхности – это особый вид линейных элементов. Мы будем называть их l-линиями.

Определим пространственное положение изогнутой линии (касательных к ней, строго говоря) в нескольких ее точках. Для этого нам не нужно утруждать себя скрупулезными измерениями. Используем известное свойство винтовой линии: угол между нею и осью цилиндра – один и тот же на всем ее протяжении. Совершенно ясно, что проекции l-линии в разных ее точках расположатся (рассеются) на стереограмме на одинаковом расстоянии от проекции оси, т.е. по кругу.

Чем меньше угол между осью и l-линией, тем меньше радиус круга. В пределе, когда l-линия параллельна оси цилиндра и совпадает с одной из его образующих, круг вырождается в точку.

Между прочим, мы только что увидели, как стереограмма преобразовала трехмерный объект – пространственную винтовую линию – в двумерный объект – окружность.

Итак, мы получили первый рисунок на стереограмме – круг с центральной точкой. Это характерный образ цилиндрической поверхности на стереограмме: ось и образующие – точка; проекции l-линии рассеяны по кругу.

Это очень важный результат. Первый результат, освещающий типовые отношения между разными видами линейных элементов. Разобравшись в этих отношениях, мы найдем ключ к Системе.

1. Вступление. Самое интересное – рядом

Мы построим простую бесконечную систему поверхностей, обладающую замечательными свойствами. Точнее говоря, система выстроится сама. Нам лишь остается:

1. Анализировать факты
2. Подмечать закономерности
3. Делать смелые предположения
4. Вводить новые понятия
5. Формулировать законы.

Всех, кому нравятся такого рода занятия, приглашаем в интеллектуальное путешествие.

Самое интересное таится в двух шагах от нас.

Шаг первый. Представим себе, что мы гуляем по вершине увала, любуясь видами живописных долин. Для тех, кто не знает, могу напомнить: увал – это протяженный холм “округлого” профиля.

Пусть увал протягивается с запада на восток. Тогда его северный, едва освещаемый солнцем склон, наверное, будет покрыт лесом. А на южном склоне, опаленном солнцем, в лучшем случае будут расти степные травы. Пусть это будет каменистая степь. Важно отметить, что наш увал ориентирован в пространстве.

Шаг второй. Отвлечемся от трав, кустов и деревьев и сосредоточимся на геометрии. Разумеется, от нашего взора не укроется тот факт, что мы в действительности гуляем по цилиндрической поверхности, каковым является этот увал.

Вот так, совершая неспешную прогулку, мы незаметно подошли к отправной точке нашего интеллектуального путешествия – цилиндрической поверхности, ориентированной в пространстве.